Área e Perímetro do Triângulo de Sierpinski

No entanto, o perímetro do triângulo de Sierpinski, dado por:

Cresce indefinidamente, tendendo a infinito quando o nível de construção tende a infinito.

Explorando o cartão Triângulo de Sierpinski

Outro cartão que pode ser explorado é o cartão Triângulo de Sierpinski. Sua estrutura triangular pode ser comparada ao conjunto fractal que leva o mesmo nome.

Com base no diagrama da planificação, percebemos que a cada iteração temos um paralelepípedo cercado por três novos paralelepípedos, porém em escala menor, que serão os paralelepípedos obtidos na próxima iteração. Podemos assim concluir previamente que este cartão possui um fator multiplicador igual a 3. 

Observando a planificação, podemos construir a regra ou lei do processo iterativo para obtermos o cartão. A seguir, faremos uma breve descrição das etapas realizadas para esta construção:

      Pegue uma folha de tamanho A4.

1.      Dobre a folha ao meio, ao longo de sua altura, de mesmo modo como foi realizado na figura 8.

2.      Com a folha dobrada ao meio, marque o ponto médio na parte dobrada de largura xe faça um corte vertical de altura y qualquer.

3.      Dobre um dos retângulos formado para cima, fazendo um vinco na dobra.

4.      As gerações seguintes serão obtidas nos dois retângulos formados no cartão, aplicando a mesma regra do passo 3. Note que os retângulos possuem x/2 de base, logo os cortes verticais em seus pontos médios devem ter altura igual a y/2. 

A figura 18 mostra o cartão Triângulo de Sierpinski construído usando o processo descrito anteriormente.

Como a cada iteração triplica-se o número de novos paralelepípedos, podemos verificar que o número de paralelepípedos gerados em cada iteração é descrito pela lei de potência 3^n, onde n = 0, 1, 2, 3, ... é o número da iteração.

Da mesma forma como exploramos o cartão Degraus Centrais, atribuímos dimensões genéricas para o paralelepípedo obtido na primeira iteração. Sendo a altura escolhida como y = a e o lado da base quadrada por a/2, construímos a tabela 3, determinando o volume de cada paralelepípedo gerado.

Tabela 3: Volume dos paralelepípedos novos e volume total do cartão Triângulo de Sierpinski.

Iteração	Número de paralelepípedos novos	Volume do novo paralelepípedo	Volume total
0	1	a³/2²	a³/2²
1	3	a³/2^5	11a³/2^5
2	9	a³/2^8	97a³/2^8
3	27	a³/2^11	803a³/2^11
...	...	...	...
n

Nesta tabela, obtemos dados semelhantes aos do cartão anterior, porém observamos que o número de paralelepípedos novos que surgem a cada geração é diferente. Além disso, notamos que a partir da geração 1 o volume total é superior ao do cartão dos degraus centrais.