A origem dos Fractais

Fractais (do latim fractus, fração, quebrado) são figuras da geometria não-Euclidiana.
A geometria fractal é o ramo da matemática que estuda as propriedades e comportamento dos fractais. Descreve muitas situações que não podem ser explicadas facilmente pela geometria clássica, e foram aplicadas em ciência, tecnologia e arte gerada por computador. As raízes conceituais dos fractais remontam a tentativas de medir o tamanho de objetos para os quais as definições tradicionais baseadas na geometria euclidiana falham.
Um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhante ao objeto original. Diz-se que os fractais têm infinitos detalhes, são geralmente autossimilares e independem de escala. Em muitos casos um fractal pode ser gerado por um padrão repetido, tipicamente um processo recorrente ou iterativo.
O termo foi criado em 1975 por Benoît Mandelbrot, matemático francês nascido na Polónia, que descobriu a geometria fractal na década de 70 do século XX, a partir do adjetivo latino fractus, do verbo frangere, que significa quebrar.
Vários tipos de fractais foram originalmente estudados como objetos matemáticos.

 

O conjunto de Mandelbrot é um exemplo famoso de fractal.

Outra vista do conjunto de Mandelbrot.

Área e Perímetro do Triângulo de Sierpinski

No entanto, o perímetro do triângulo de Sierpinski, dado por:

Cresce indefinidamente, tendendo a infinito quando o nível de construção tende a infinito.

Explorando o cartão Triângulo de Sierpinski

Outro cartão que pode ser explorado é o cartão Triângulo de Sierpinski. Sua estrutura triangular pode ser comparada ao conjunto fractal que leva o mesmo nome.

Com base no diagrama da planificação, percebemos que a cada iteração temos um paralelepípedo cercado por três novos paralelepípedos, porém em escala menor, que serão os paralelepípedos obtidos na próxima iteração. Podemos assim concluir previamente que este cartão possui um fator multiplicador igual a 3. 

Observando a planificação, podemos construir a regra ou lei do processo iterativo para obtermos o cartão. A seguir, faremos uma breve descrição das etapas realizadas para esta construção:

      Pegue uma folha de tamanho A4.

1.      Dobre a folha ao meio, ao longo de sua altura, de mesmo modo como foi realizado na figura 8.

2.      Com a folha dobrada ao meio, marque o ponto médio na parte dobrada de largura xe faça um corte vertical de altura y qualquer.

3.      Dobre um dos retângulos formado para cima, fazendo um vinco na dobra.

4.      As gerações seguintes serão obtidas nos dois retângulos formados no cartão, aplicando a mesma regra do passo 3. Note que os retângulos possuem x/2 de base, logo os cortes verticais em seus pontos médios devem ter altura igual a y/2. 

A figura 18 mostra o cartão Triângulo de Sierpinski construído usando o processo descrito anteriormente.

Como a cada iteração triplica-se o número de novos paralelepípedos, podemos verificar que o número de paralelepípedos gerados em cada iteração é descrito pela lei de potência 3^n, onde n = 0, 1, 2, 3, ... é o número da iteração.

Da mesma forma como exploramos o cartão Degraus Centrais, atribuímos dimensões genéricas para o paralelepípedo obtido na primeira iteração. Sendo a altura escolhida como y = a e o lado da base quadrada por a/2, construímos a tabela 3, determinando o volume de cada paralelepípedo gerado.

Tabela 3: Volume dos paralelepípedos novos e volume total do cartão Triângulo de Sierpinski.

Iteração	Número de paralelepípedos novos	Volume do novo paralelepípedo	Volume total
0	1	a³/2²	a³/2²
1	3	a³/2^5	11a³/2^5
2	9	a³/2^8	97a³/2^8
3	27	a³/2^11	803a³/2^11
...	...	...	...
n

Nesta tabela, obtemos dados semelhantes aos do cartão anterior, porém observamos que o número de paralelepípedos novos que surgem a cada geração é diferente. Além disso, notamos que a partir da geração 1 o volume total é superior ao do cartão dos degraus centrais.

O que é perímetro, área e volume? Como calculá-los?

   O que é perímetro, área e volume? Como calculá-los?

Perímetro

O que é perímetro? E como o calculamos? 
                Perímetro é a medida do comprimento de um contorno. 

Observe um campo de futebol, o perímetro dele é o seu contorno que está de vermelho. 

Pra fazermos o cálculo do perímetro devemos somar todos os seus lados:
P = 100 + 70 + 100 + 70
P = 340 m 

Área 

O que é área? E como o calculamos? 
                Área é a medida de uma superfície. 

A área do campo de futebol é a medida de sua superfície (gramado). 
Se pegarmos outro campo de futebol e colocarmos uma malha quadriculada, a sua área será equivalente à quantidade de quadradinho. Se cada quadrado for uma unidade de área: 

                  

       

Veremos que a área do campo de futebol é 70 unidades de área. 
A unidade de medida da área é: m2 (metros quadrados), cm2 (centímetros quadrados), e outros. 

No estudo da matemática calculamos áreas de figuras planas e para cada figura há uma fórmula pra calcular a sua área.

 Volume

O que é volume? Como o calculamos?

O volume de um corpo é a quantidade de espaço ocupada por esse corpo. Volume tem unidades de tamanho cúbicas (por exemplo, cm³, m³, in³, etc.) Então, o volume de uma caixa (paralelepípedo retangular) de comprimento a, largura b, e altura c é:

Sendo:

a=6cm

b=3cm

c=2cm

V = a x b x c

V=6cm x 3cm x 2cm

V = 36cm³

O que são fractais? Quais suas principais características?

 O que são fractais? Quais suas principais características?

      Os fractais são conjuntos cuja forma é extremamente irregular ou fragmentada: e que têm essencialmente a mesma estrutura em todas as escalas. A origem do termo fractal, introduzido por Mandelbrot, está no radical fractus, proveniente do verbo latino frangere, que quer dizerquebrar, produzir pedaços irregulares; vem da mesma raiz a palavra fragmentar, em português.

Os fractais também são conhecidos como imagens abstratas que possuem o caráter de onipresença, por terem as características do todo infinitamente multiplicadas dentro de cada parte. Ou seja: cada partícula possui dentro de si a totalidade, o Universo.

            As principais propriedades que caracterizam e que permitem definir os conjuntos fractais são as seguintes:

1) a auto-similaridade, que pode ser exata ou estatística, ou seja, o sistema é invariante (mantém a mesma forma e estrutura) sob uma transformação de escala (transformação que reduz ou amplia o objeto ou parte dele);

2) a extrema 'irregularidade' no sentido de rugosidade (não-suavidade) ou fragmentação; 3) possuir, em geral, uma dimensão fractal não-inteira. A dimensão fractal quantifica, de certo modo, o grau de irregularidade ou fragmentação do conjunto considerado.

            Para se entender melhor o conceito de dimensão de fractal, atente-se no seguinte exemplo. Uma linha simples, euclidiana, unidimensional não ocupa espaço. Mas o contorno da curva de Koch, com comprimento infinito estendendo-se por uma área finita, ocupa espaço. É mais do que uma linha, mas menos de que um plano. É mais do que unidimensional mas não chega a ser bidimensional. A dimensão desta curva é 1,2618.

            Para introduzir a ideia de que a dimensão não é necessariamente inteira, Mandelbrot utilizou o seguinte exemplo:

            Qual é a dimensão de um novelo de fio? Mandelbrot respondeu que isso depende do ponto de vista. Visto de grande distância, o novelo não é mais do que um ponto, com dimenão zero. Visto mais de perto, o novelo parece ocupar um espaço periférico, assumindo assim três dimensões. Visto ainda mais de perto, o fio torna-se visível, e o objecto torna-se de facto unidimensional, ainda que essa dimensão única se enovele em volta de si mesma de tal forma que ocupa um espaço tridimensional. A noção de quantos números são necessários para especificar um ponto continua a ser útil. De muito longe, não é preciso nenhum - o ponto é a única coisa que existe. Mais perto, são precisos três. Mais perto ainda, um é suficiente - qualquer posição específica ao longo do fio é única, por muito que o fio esteja enovelado.

            Os computadores, com o seu poder de cálculo e as representações gráficas que conseguem executar, são responsáveis por trazer de novo estes "monstros" à vida, gerando quase instantaneamente os fractais no monitor e com as suas formas bizarras, os seus desenhos artísticos ou pormenorizadas paisagens e cenários.

           

Algoritmo III - Construção geométrica do Triângulo de Sierpinski

1 - Partir de uma superfície delimitada por um triângulo qualquer. Sugere-se inicialmente um triângulo eqüilátero por motivo estético e de simplicidade.

2 - Iniciar pelo triângulo eqüilátero, de lado l, marcar os pontos médios de cada um dos seus lados que se unem por segmentos, dividindo-o em quatro novos triângulos semelhantes ao inicial.

3 - Retirar o triângulo central e repetir o mesmo processo em cada um dos triângulos restantes. E assim iterativamente.

Explorar o Triângulo de Sierpinski possibilita ao aluno determinar o perímetro e a área desta figura fractal em cada nível da iteração, como também trabalhar com progressão geométrica e função exponencial, ver (ZAVALA, 2007) e (PALLESI, 2007).

Fractais Psicodélicos

Exemplo de Fractais Psicodélicos 

Como são construídos os fractais?

         Como são construídos os fractais?

Um fractal é gerado a partir de uma fórmula matemática e equações matemáticas que podem ser interpretadas como formas e cores por programas de computador, muitas vezes simples, mas que aplicada de forma iterativa, produz resultados fascinantes e impressionantes. São objetos gerados pela repetição de um mesmo processo recursivo, apresentando auto semelhança (não sendo necessariamente iguais) e complexidade infinita.

Exemplos de fractais da natureza:

As formas estranhas e caóticas dos fractais descrevem fenômenos naturais como: os sismos, o desenvolvimento das árvores, a forma de algumas raízes, a linha da costa marítima, as nuvens...

Imagem gerada utilizando fractais através da infinita repetição de padrões similares. Cada pequena parte é similar ao todo.

Um brócolis como exemplo de um belo fractal natural.

Fractal Triminó

Construção:

 

1. Considere o triminó não reto, construído por 3 quadrados,  que serão fractal em nível 1.  

2. O aluno deverá substituir cada peça quadrada por um triminó, teremos assim o Fractal em nível 2. 

3. Novamente o aluno deverá trocar cada quadrado por um triminó, obtendo assim o Fractal ao nível 3. 

Exploração: Observe que no Nível 1 foram usadas 3 peças, no  Nível 2 foram usadas 3 x 3 = 9 peças e no
Nível 3  foram usadas 3 x 3 x 3  = 27 peças.

Note que o processo de contagem dos quadrados em cada etapa do fractal acima, resultou em uma sequência crescente, mais especificamente uma PG de razão 3, sendo assim é possível descobrimos quantos quadrados haverão em cada etapa seguinte, sem precisar construí-las, basta ensinar o conceito de Progressão Geométrica e suas propriedades.